Возможно ли такое устройство на работу?

Такая ситуация. Есть магазин и есть новый сотрудник. Этот сотрудник хочет работать но при этом что бы записи в трудовой не было и при этом же хочет договор заключить. А разве можно заключать договор но при этом не делать запись в трудовой книжке? Договор хочет срочный.

Можно и я здесь спрошу, чтобы новую тему не создавать. Если я сейчас в декрете до 3- хлет и хочу пойти работать в другое место до выхода на прежнее место. Можно ли будет заключить трудовой договор на новом месте? И делается ли запись в трудовую? Как это должно оформляться, подскажите кто в курсе?

я так работала - по срочному трудовому договору. все официально, но трудовая была на руках и записи в нее делаются по желанию